Question

用歸納法證明：?n∈N^*，3ⁿ＞n²-

3

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：歸納法,推理和證明

分析：先驗(yàn)證n=1，2，3時(shí)的情況，再假設(shè)n=k時(shí)，原不等式也成立，由此推出n=k+1≥4時(shí)，原不等式也成立，根據(jù)歸納法原理可知，對(duì)?n∈N^*，原不等式成立．

解答： 證明：（1）n=1時(shí)，3¹＞1²-

3

2

，
n=2時(shí)，3²＞2²-

3

2

，
n=3時(shí)，3³＞3²-

3

2

．
（2）假設(shè)n=k時(shí)，原不等式也成立，即3^k＞k²-

3

2

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，有3^k+1=3•3^k＞3（k²-

3

2

）．
由3（k²-

3

2

）-[（k+1）²-

3

2

]=2k²-2k-4=2（k-2）（k+1）知，
當(dāng)k≥3時(shí)，2（k-2）（k+1）＞0，∴3（k²-

3

2

）＞（k+1）²-

3

2

，
∴3^k+1＞（k+1）²-

3

2

．
即n=k+1≥4時(shí)，原不等式成立，
綜合（1）、（2）知，對(duì)?n∈N^*，3ⁿ＞n²-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，值得注意的是，至少應(yīng)驗(yàn)證n的前3個(gè)值，因?yàn)樵诘冢?）部分中，當(dāng)k≥3時(shí)，對(duì)不等式放縮才有效．