在數(shù)列{an}中,a1=1,a1+
a2
2
+
a3
3
+…+
an
n
=2n-1(n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn;
(Ⅱ)若存在n∈N*,使得an≤n(n+1)λ成立,求實(shí)數(shù)λ的最小值.
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合
專題:綜合題,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)在遞推式中取n取n-1得另一遞推式,作差后得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,然后利用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和;
(Ⅱ)把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入an≤n(n+1)λ,分離參數(shù)λ后構(gòu)造輔助函數(shù)f(n)=
2n-1
n+1
,利用作商法得到該函數(shù)為增函數(shù),求出函數(shù)的最小值得答案.
解答: 解:(Ⅰ)∵a1+
a2
2
+
a3
3
+…+
an
n
=2n-1
     ①
a1+
a2
2
+
a3
3
+…+
an-1
n-1
=2n-1-1
(n≥2)②
①-②得:
an
n
=2n-1(n≥2)
,
an=n•2n-1(n≥2).
驗(yàn)證n=1時(shí)成立.
Sn=1×20+2×21+…+(n-1)2n-2+n•2n-1
2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)2n-1+n•2n
兩式相減得:-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=-1-(n-1)2n
Sn=1+(n-1)2n
(Ⅱ)∵an=n•2n-1,
由an≤n(n+1λ,得λ≥
an
n(n+1)
=
2n-1
n+1
,
f(n)=
2n-1
n+1
,
f(n+1)
f(n)
=
2n
n+2
n+1
2n-1
=
2n+2
n+2
>1
,
∴f(n)單調(diào)遞增,
fmin(n)=f(1)=
1
2
,
λ≥
1
2
,
故λ的最小值為
1
2
點(diǎn)評(píng):本題是數(shù)列與不等式的綜合題,考查了作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,分離變量λ并構(gòu)造函數(shù)是解答(Ⅱ)的關(guān)鍵,是中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若點(diǎn)F1,F(xiàn)2為橢圓
x2
4
+y2=1的焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),當(dāng)△F1PF2的面積為
2
2
時(shí),
PF1
PF2
的值為( 。
A、0
B、
1
2
C、1
D、
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)sinθ=
m2+1
4m
(m>0),則cos(θ+
π
6
)的取值范圍是( 。
A、[-1,
1
2
]
B、[-1,
3
2
]
C、[-
1
2
1
2
]
D、[-
1
2
,
3
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
m2
+
y2
n2
=1過點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(1,0),其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y=
2
8
x2的焦點(diǎn)重合,C為E上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若橢圓E所在平面上的兩點(diǎn)M,G同時(shí)滿足:①
.
GA
+
.
GB
+
.
GC
=
.
0
;②|
.
MA
|=|
.
MB
|=|
.
MC
|.試問直線MG的斜率是否為定值,若為定值求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知公比為q(q≠1)的無窮等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1.
(1)若q=
1
3
,在a1與a2之間插入k個(gè)數(shù)b1,b2,…,bk,使得a1,b1,b2,…,bk,a2,a3成等差數(shù)列,求這k個(gè)數(shù);
(2)對(duì)于任意給定的正整數(shù)m,在a1,a2,a3的a1與a2和a2與a3之間共插入m個(gè)數(shù),構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,求公比q的所有可能取值的集合(用m表示);
(3)當(dāng)且僅當(dāng)q取何值時(shí),在數(shù)列{an}的每相鄰兩項(xiàng)ak,ak+1之間插入ck(k∈N*,ck∈N)個(gè)數(shù),使之成為一個(gè)等差數(shù)列?并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通項(xiàng)公式(用q表示).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1,且對(duì)任意正整數(shù)n,{an}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為bn;{bn}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為an
(1)求a1;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C1:(x+1)2+y2=1和圓C2:(x-4)2+y2=4.
(1)過圓心C1作傾斜角為θ的直線l交圓C2于A,B兩點(diǎn),且A為C1B的中點(diǎn),求sinθ;
(2)過點(diǎn)P(m,1)引圓C2的兩條割線l1和l2,直線l1和l2被圓C2截得的弦的中點(diǎn)分別為M,N.試問過點(diǎn)P,M,N,C2的圓是否過定點(diǎn)(異于點(diǎn)C2)?若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn);若不過定點(diǎn),說明理由;
(3)過圓C2上任一點(diǎn)Q(x0,y0)作圓C1的兩條切線,設(shè)兩切線分別與y軸交于點(diǎn)S和T,求線段ST長(zhǎng)度的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

“幸福感指數(shù)”是指某個(gè)人主觀地評(píng)價(jià)他對(duì)自己目前生活狀態(tài)的滿意程度時(shí),給出的區(qū)間內(nèi)的一個(gè)數(shù),該數(shù)越接近10表示越滿意,為了解某大城市市民的幸福感,隨機(jī)對(duì)該城市的男、女各500人市民進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示:
幸福感指數(shù)[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)
男市民人數(shù)1020220125125
女市民人數(shù)1010180175125
根據(jù)表格,解答下面的問題:
(Ⅰ)完成頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖估算該城市市民幸福感指數(shù)的平均值;(參考數(shù)據(jù):2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646)
(Ⅱ)如果市民幸福感指數(shù)達(dá)到6,則認(rèn)為他幸福.試在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下能否判定該市市民幸福與否與性別有關(guān)?參考公式:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k00.100.010.001
k02.7066.63510.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+bx+c(a,b,c∈R),g(x)=f′(x)且g(0)=g(1).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若任意x1、x2∈[0,1]且x2>x1,求證:|g(x2)-g(x1)|<8|x2-x1|;
(Ⅲ)當(dāng)b≤
16
3
9
時(shí),請(qǐng)判斷曲線f(x)的所有切線中,斜率λ為正數(shù)時(shí)切線的條數(shù),并說明理由.

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