Question

數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁，且對(duì)任意正整數(shù)n，{a_n}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為b_n；{b_n}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為a_n．
（1）求a₁；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理

專題：高考數(shù)學(xué)專題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：（1）利用反證法來(lái)推理論證，分a₁=b₁=0，和a₁=b₁≥2，兩種情況論證．
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=b_k=k，k∈N*．推出與假設(shè)相矛盾．

解答： 解：（1）首先，容易得到一個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí)：{a_n}與{b_n}均為不減數(shù)列且a_n∈N，b_n∈N．
若a₁=b₁=0，故{a_n}中小于等于1的項(xiàng)至少有一項(xiàng)，從而b₁≥1，這與b₁=0矛盾．
若a₁=b₁≥2，則{a_n}中沒(méi)有小于或等于1的項(xiàng)，從而b₁=0，這與b₁≥2矛盾．
所以，a₁=1
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=b_k=k，k∈N*．
若a_k+1≥k+2，因{a_n}為不減數(shù)列，故{a_n}中小于等于k+1的項(xiàng)只有k項(xiàng)，
于是b_k+1=k，此時(shí){b_n}中小于等于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)（b₁，b₂，…，b_k，b_k+1），
從而a_k≥k+1，這與假設(shè)a_k=k矛盾．
若a_k+1=k，則{a_n}中小于等于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)（a₁，a₂，…，a_k，a_k+1），
于是b_k≥k+1，這與假設(shè)b_k=k矛盾．
所以，a_k+1=k+1．
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
綜上，由（1），（2）可知，a_n=b_n=n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．
所以，a_n=n，即為所求的通項(xiàng)公式

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了推理論證的反證法和數(shù)學(xué)歸納法，反證法關(guān)鍵推證和誰(shuí)相矛盾，已知，定義，定理，公里，屬于中檔題．