【題目】已知數列{an}的首項, , .
(1)求證:數列為等比數列;
(2)記,若Sn<100,求最大正整數n;
(3)是否存在互不相等的正整數m,s,n,使m,s,n成等差數列,且am-1,as-1,an-1成等比數列?如果存在,請給以證明;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)99;(3)不存在
【解析】試題分析:(1)根據可得,根據,可知,即,據此即可求證;(2)根據等比數列的通項公式可得,進而即可表示出,對其進行整理可得,由于,所以有,即,至此,即可得到最大正整數 ;(3)首先假設存在,根據等差數列的性質可得,再根據等比的性質可得,結合(2)中得到的通項公式可將其化簡為,接下來再根據均值不等式可知,當且僅當時等號成立,至此,再根據互不相等即可得結果.
試題解析:(1)因為=+,所以-1=-.又因為-1≠0,所以-1≠0(n∈N*).
所以數列為等比數列.
(2)由(1)可得-1=·n-1,所以=2·n+1.
Sn=++…+=n+2=n+2·=n+1-,
若Sn<100,則n+1-<100,因為函數y= n+1-單調增, 所以最大正整數n的值為99.
(3)假設存在,則m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2,
因為an=,所以=2,
化簡得3m+3n=2·3s,因為3m+3n≥2·=2·3s,
當且僅當m=n時等號,又m,s,n互不相等,所以不存在.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖, 面, , , 為的中點.
(Ⅰ)求證: 平面.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得,若存在,求出的值,若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數是定義在, , 上的奇函數,當, 時, ().
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)設, , ,求證:當時, 恒成立;
(Ⅲ)是否存在實數,使得當, 時, 的最小值是?如果存在,
求出實數的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】(本題滿分14分)如圖,已知橢圓:,其左右焦點為及,過點的直線交橢圓于兩點,線段的中點為,的中垂線與軸和軸分別交于兩點,且、、構成等差數列.
(1)求橢圓的方程;
(2)記△的面積為,△(為原點)的面積為.試問:是否存在直線,使得?說明理由.
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【題目】隨著我國經濟的快速發(fā)展,民用汽車的保有量也迅速增長.機動車保有量的發(fā)展影響到環(huán)境質量、交通安全、道路建設等諸多方面.在我國,尤其是大中型城市,機動車已成為城市空氣污染的重要來源.因此,合理預測機動車保有量是未來進行機動車污染防治規(guī)劃、道路發(fā)展規(guī)劃等的重要前提.從2012年到2016年,根據“云南省某市國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報”中公布的數據,該市機動車保有量數據如表所示.
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
機動車保有量(萬輛) | 169 | 181 | 196 | 215 | 230 |
(1)在圖所給的坐標系中作出數據對應的散點圖;
(2)建立機動車保有量關于年份代碼的回歸方程;
(3)按照當前的變化趨勢,預測2017年該市機動車保有量.
附注:回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
, .
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【題目】某化工廠從今年一月起,若不改善生產環(huán)境,按生產現狀,每月收入為70萬元,同時將受到環(huán)保部門的處罰,第一個月罰3萬元,以后每月增加2萬元.如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設備(改造設備時間不計),一方面可以改善環(huán)境,另一方面也可以大大降低原料成本.據測算,添加回收凈化設備并投產后的前5個月中的累計生產凈收入是生產時間個月的二次函數(是常數),且前3個月的累計生產凈收入可達309萬,從第6個月開始,每個月的生產凈收入都與第5個月相同.同時,該廠不但不受處罰,而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎勵100萬元.
(1)求前8個月的累計生產凈收入的值;
(2)問經過多少個月,投資開始見效,即投資改造后的純收入多于不改造時的純收入.
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【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%,現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數,指定1,2,3,4表示命中;5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個隨機數為一組,代表三次投籃的結果,經隨機模擬產生了如下20組隨機數,據此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
137 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
A.0.40 B.0.30 C.0.35 D.0.25
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【題目】如圖,已知定圓,定直線,過的一條動直線與直線相交于,與圓相交于,兩點,是中點.
(Ⅰ)當與垂直時,求證:過圓心;
(Ⅱ)當時,求直線的方程;
(Ⅲ)設,試問是否為定值,若為定值,請求出的值;若不為定值,請說明理由.
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