Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x+a₄（a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R），當(dāng)x=-1時(shí)f（x）取得極大值

2

3

，且函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱(chēng)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）試在函數(shù)y=f（x）的圖象上求兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間[-

2

，

2

]上．

Answer 1

（1）將函數(shù)y=f（x+1）的圖象向右平移一個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=a₁x³+a₃x
∴f^′（x）=3a₁x²+a₃
由題意得：

f′(-1)=3a1+a3=0 f (-1)=-a1-a3= 2 3

所以

a1= 1 3 a3=-1

，f(x)=

1

3

x3-x經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意
（2）由（1）可得f^′（x）=x²-1
故設(shè)所求兩點(diǎn)為(x1，f(x1))，(x2，f(x2))(x1，x2∈ [-

2

，

2

])
f^′（x₁）•f^′（x₂）=（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
∵x₁²-1，x₂²-1∈[-1，1]
∴

x 22 -1=-1 x 21 -1=-1

或

x 21 -1=1 x 22 -1=-1

x1= 0 x2=± 2

或

x1=± 2 x2= 0

∴滿(mǎn)足條件的兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：
（0，0），(

2

，-

2

3

)或(0，0)  ，(-

2

，-

2

3

)