Question

已知函數(shù)y=e^x的圖象在點(diǎn)(ak，eak)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_k+1，其中k∈N^*，a₁=0，則a₁+a₃+a₅=

-6

．

Answer 1

分析：先利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)(ak，eak)處的切線，求出切線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到數(shù)列遞推式，看出數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，從而求出所求．

解答：解：∵y=e^x，
∴y′=e^x，
∴y=e^x在點(diǎn)（a_k，e^a_k）處的切線方程是：
y-e^a_k=e^a_k（x-a_k），
整理，得e^a_kx-y-a_ke^a_k+e^a_k=0，
∵切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a_k+1，
∴a_k+1=a_k-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為a₁=0，公差d=-1的等差數(shù)列，
∴a₁+a₃+a₅=0-2-4=-6．
故答案為：-6．

點(diǎn)評：本題主要考查了切線方程以及數(shù)列和函數(shù)的綜合，本題解題的關(guān)鍵是寫出數(shù)列遞推式，求出兩個(gè)項(xiàng)之間的關(guān)系，得到數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，屬于中檔題．