Question

【題目】已知橢圓C： 的右頂點(diǎn)A（2，0），且過(guò)點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)B（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l于橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PB的斜率為k2 ， 求證：k1k2為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得a=2， + =1，

a2﹣b2=c2，

解得b=1，

即有橢圓方程為 +y2=1；

（2）證明：設(shè)過(guò)點(diǎn)B（1，0）的直線l方程為：y=k1（x﹣1），

由 ，

可得：（4k12+1）x2﹣8k12x+4k12﹣4=0，

因?yàn)辄c(diǎn)B（1，0）在橢圓內(nèi)，所以直線l和橢圓都相交，

即△＞0恒成立．

設(shè)點(diǎn)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

則x1+x2= ，x1x2= ．

因?yàn)橹本�AE的方程為：y= （x﹣2），

直線AF的方程為：y= （x﹣2），

令x=3，得M（3， ），N（3， ），

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)（3， （ + ））．

直線PB的斜率為k2= = （ + ）

= =

= =﹣ ．

所以k1k2為定值﹣ ．

【解析】（1）由題意可得a=2，代入點(diǎn) ，解方程可得橢圓方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)B（1，0）的直線l方程為：y=k（x﹣1），由 ，可得（4k12+1）x2﹣8k12x+4k12﹣4=0，由已知條件利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出直線PB的斜率k2=﹣ ，由此能證明kk′為定值﹣ ．