Question

17．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，0≤x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，若對(duì)任意的x∈[a，a+1]，不等式f（2x）≤（x+a）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 當(dāng)x≥0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得f（x）的單調(diào)性，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=f（|x|），不等式f（2x）≤f（x+a）即為f（|2x|）≤f（|x+a|），即有|2x|≤|x+a|，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和不等式恒成立思想，解不等式即可得到所求最大值．

解答 解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1，0≤x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈[0，1），y=x²-1遞增，且x=1，y=0，
當(dāng)x≥1時(shí)，y=lnx遞增，且經(jīng)過點(diǎn)（1，0），
則由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=f（|x|），
因?yàn)閒（x）在[0，+∞）遞增，
由不等式f（2x）≤f（x+a）即為f（|2x|）≤f（|x+a|），
即有|2x|≤|x+a|，
即為（3x+a）（x-a）≤0，
對(duì)任意的x∈[a，a+1]，不等式f（2x）≤f（x+a）恒成立，
由二次函數(shù)的圖象可得，（3a+a）（a-a）≤0，且[3（a+1）+a]（a+1-a）≤0，
即為0≤0且a≤-$\frac{3}{4}$，
則有a≤-$\frac{3}{4}$．
所以a的最大值為-$\frac{3}{4}$．
故答案為：-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和單調(diào)性的運(yùn)用：解不等式，運(yùn)用偶函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯(cuò)題．