Question

已知函數(shù)g(x)=

x2-2

(x≥2)的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=

x

x2-2

(x≥2)，記函數(shù)f（x）=x-kg（x）（x≥2，k為常數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)，求k的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)可得到f（x₁）-f（x₂）關(guān)于x₁，x₂的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)化為k＞

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

對(duì)x₁，x₂∈（2，+∞）恒成立的問題，即可得到k的取值．
（2）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后分兩種情況討論，當(dāng)k≤0時(shí)易知函數(shù)f（x）是增函數(shù)，可直接求出值域；當(dāng)k＞0時(shí)，又分三種情況k＞1、k=1、0＜k＜1根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況進(jìn)行討論，從而可得到函數(shù)的單調(diào)性確定值域．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）在區(qū)間（2，+∞）上為減函數(shù)，
所以對(duì)任意的x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂恒有f（x₁）-f（x₂）＞0成立．
即f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+

k(x2-x1)(x2+x1)

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

＞0恒成立．
因?yàn)閤₂-x₁＞0，所以k＞

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

對(duì)x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂時(shí)，恒成立．
又

x 2 2 -2 + x 2 1 -2

x1+x2

＜1，所以k≥1．
（2）f′(x)=1-

kx

x2-2

=1-

k

1- 2 x2

(x≥2)．
下面分兩種情況討論：
（1）當(dāng)k≤0時(shí)，f(x)=x-k

x2-2

是關(guān)于x的增函數(shù)，值域?yàn)?span id="ndrfvnr" class="MathJye">[2-

2

k，  +∞)
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，又分三種情況：
①當(dāng)k＞1時(shí)，因?yàn)?span id="xpfn5zb" class="MathJye">x＞

x2-2

，所以1-

kx

x2-2

＜0，即f'（x）＜0．
所以f（x）是減函數(shù)，f(x)≤f(2)=2-

2

k．
又f(x)=x-k

x2-2

=

(1-k2)x2+2k2

x+k x2-2

=

(1-k2)x+ 2k2 x

1+k 1- 2 x2

，
當(dāng)x→+∞，f（x）→-∞，所以f（x）值域?yàn)?span id="7zvfzdh" class="MathJye">(-∞，  2-

2

k]．
②當(dāng)k=1時(shí)，f(x)=x-

x2-2

=

2

x2+ x2-2

＞0，
且f（x）是減函數(shù)，故f（x）值域是(0，  2-

2

]．
③當(dāng)0＜k＜1時(shí)，f'（x）是增函數(shù)，
f(2)=2-

2

k，f(x)=x-k

x2-2

=

(1-k2)x2+2k2

x+k x2-2

=

(1-k2)x+ 2k2 x

1+k 1- 2 x2

．
下面再分兩種情況：
（a）當(dāng)0＜k≤

2

2

時(shí)，f'（x）=0的唯一實(shí)根x=

2 1-k2

≤2，
故f'（x）＞0（x≥2），f(x)=x-k

x2-2

是關(guān)于x的增函數(shù)，值域?yàn)?span id="d15b1tl" class="MathJye">[2-

2

k，  +∞)；
（b）當(dāng)

2

2

＜k＜1時(shí)，f'（x）=0的唯一實(shí)根x=

2 1-k2

＞2，
當(dāng)2≤x＜

2 1-k2

時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞

2 1-k2

時(shí)，f'（x）＞0；
所以f（x）≥f(

2 1-k2

)=

2(1-k2)

．故f（x）的值域?yàn)?span id="z5vzdv5" class="MathJye">[

2(1-k2)

，  +∞)．
綜上所述，f（x）的值域?yàn)?span id="tzn9v5j" class="MathJye">[2-

2

k，  +∞)(k≤

2

2

)；
[

2(1-k2)

，  +∞)（

2

2

＜k＜1）；(0，2-

2

]（k=1）；(-∞，  2-

2

k]（k＞1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系、根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域．導(dǎo)數(shù)是高考必考點(diǎn)，要重視．