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【題目】已知橢圓 的離心率,過橢圓的左焦點且傾斜角為的直線與圓相交所得弦的長度為1.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線交橢圓于不同的兩點,設 ,其中為坐標原點.當以線段為直徑的圓恰好過點時,求證: 的面積為定值,并求出該定值.

【答案】(1;(2)定值為,證明見解析.

【解析】試題分析:(I)借助題設條件建立方程組求解;(II)依據題設運用直線與橢圓的位置關系進行探求.

試題解析:

)由題意知,即. ①

因為直線過左焦點且傾斜角為30°可得直線方程為

又因為直線與圓相交弦長為1,

所以圓心到直線距離,

再由勾股定理得:

①②聯(lián)立可知

即橢圓方程為

)()當直線的斜率不存在時,,因為以線段為直徑的圓過原點,所以,即,

所以,

,

又因為點在橢圓上,所以,

代入得: ,

所以.

)當直線的斜率存在時,設直線的方程為,

因為交于不同兩點,所以,

,即

由韋達定理得: ,

由題意知,又,

所以

,

代入整理得.

到直線的距離,

所以

,

代入,

綜上,三角形的面積為定值1.

練習冊系列答案
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【題目】據統(tǒng)計,截至2016年底全國微信注冊用戶數量已經突破9.27億.為調查大學生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數量,現(xiàn)從某市大學生中隨機抽取100位同學進行了抽樣調查,結果如下:

(1)求,,的值及樣本中微信群個數超過12的概率;

(2)若從這100位同學中隨機抽取2人,求這2人中恰有1人微信群個數超過12的概率;

(3)以(1)中的頻率作為概率,若從全市大學生中隨機抽取3人,記表示抽到的是微信群個數超過12的人數,求的分布列及數學期望.

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使用時間

人數

10

40

25

20

5

(Ⅰ)已知該校大一學生由2400人,求抽取的100名學生中大一學生人數;

(Ⅱ)作出這些數據的頻率分布直方圖;

(Ⅲ)估計該校大學生每周使用共享單車的平均時間(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表).

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【題目】若函數f(x)=kax﹣ax(a>0且a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函數又是增函數,則函數g(x)=loga(x+k)的圖像是( )
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知函數,為實數,,

(1)若函數的圖象過點,且方程有且只有一個實根,求的表達式;

(2)在(1)的條件下,當時,是單調函數,求實數的取值范圍.

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【題目】關于下列命題: ①若函數y=2x的定義域是{x|x≤0},則它的值域是{y|y≤1};
②若函數y= 的定義域是{x|x>2},則它的值域是{y|y≤ };
③若函數y=x2的值域是{y|0≤y≤4},則它的定義域一定是{x|﹣2≤x≤2};
④若函數y=log2x的值域是{y|y≤3},則它的定義域是{x|0<x≤8}.
其中不正確的命題的序號是 . (注:把你認為不正確的命題的序號都填上)

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【題目】某研究小組在電腦上進行人工降雨模擬實驗,準備用、、三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨,其試驗數據統(tǒng)計如表:

方式

實施地點

大雨

中雨

小雨

模擬實驗總次數

4次

6次

2次

12次

3次

6次

3次

12次

2次

2次

8次

12次

假定對甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響,請你根據人工降雨模擬實驗的統(tǒng)計數據:

(Ⅰ)求甲、乙、丙三地都恰為中雨的概率;

(Ⅱ)考慮到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即達到理想狀態(tài),乙地必須是大雨才達到理想狀態(tài),丙地只能是小雨或中雨即達到理想狀態(tài),記“甲、乙、丙三地中達到理想狀態(tài)的個數”為隨機變量,求隨機變量的分布列和數學期望

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