Question

從集合{1，2，4，8，16，32，64}的所有非空真子集中等可能地取出一個．
（I）求所取的子集中元素從小到大排列成等比數(shù)列的概率；
（Ⅱ）記所取出的子集的元素個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量的期望與方差

專題：應用題,概率與統(tǒng)計

分析：（I）確定所有非空真子集、所取的子集中元素從小到大排列成等比數(shù)列的個數(shù)，利用古典概型概率公式可求概率；
（Ⅱ）ξ的可能取值是1、2、3、4、5、6，求出相應的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（I）集合{1，2，4，8，16，32，64}的所有非空真子集，共有n=2⁷-2=126，
符合條件的子集有：三元集9個，四元集5個，五元集3個，六元集2個，共有m=9+5+3+2=19個，
∴所求概率為P=

m

n

=

19

126

；
（Ⅱ）ξ的可能取值是1、2、3、4、5、6，
P（ξ=1）=

C 1 7

126

=

7

126

，P（ξ=2）=

C 2 7

126

=

21

126

，P（ξ=3）=

C 3 7

126

=

35

126

，
P（ξ=4）=

C 4 7

126

=

35

126

，P（ξ=5）=

C 5 7

126

=

21

126

，P（ξ=6）=

C 6 7

126

=

7

126

，
∴ξ的分布列

ξ	1	2	3	4	5	6
P	7 126	21 126	35 126	35 126	21 126	7 126

數(shù)學期望Eξ=1×

7

126

+2×

21

126

+3×

35

126

+4×

35

126

+5×

21

126

+6×

7

126

=

441

126

=

7

2

．

點評：本題這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機變量的分布列和期望，大型考試中理科考試必出的一道問題．本題還考到了集合的子集個數(shù)問題，一個含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2ⁿ．