Question

20．設(shè)S=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}}$，則S的整數(shù)部分是（　�。�

• A． 17
• B． 18
• C． 19
• D． 20

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2$（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$，$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：∵$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2$（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$，$\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2$（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）$，
∴S＜1+2$（\sqrt{100}-1）$=19；S＞1+2$（\sqrt{101}-\sqrt{2}）$≈18.27．
∴S的整數(shù)部分是18．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了有理化因式、根式的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．