Question

已知曲線C：x²y+xy²=1，則曲線C關于對稱的序號有（ ）
（1）x軸對稱；（2）y軸對稱；（3）原點對稱；（4）直線y=x對稱；（5）直線y=-x對稱．
A．（3）（4）
B．（1）（5）
C．（4）
D．（2）（5）

Answer 1

【答案】分析：設（a，b）點在曲線上，則（a，b）點滿足方程x²y+xy²=1，然后判定（a，-b），（-a，b），（-a，-b），（b，a），（-b，-a）是否在曲線C上，從而得到結論．
解答：解：若（a，b）點在曲線上則a²b+ab²=1
令x=a，y=-b，則-a²b+ab²=1，故點（a，-b）不在曲線C上，即不關于x軸對稱；
令x=-a，y=b，則a²b-ab²=1，故點（-a，b）不在曲線C上，即不關于y軸對稱；
令x=-a，y=-b，則-a²b-ab²=1，故點（-a，-b）不在曲線C上，即不關于原點對稱；
令x=b，y=a，則ab²+a²b=1，故點（b，a）在曲線C上，即關于直線y=x對稱；
令x=-b，y=-a，則-ab²-a²b=1，故點（-b，-a）不在曲線C上，即不關于直線y=-x對稱．
故選C．
點評：本題主要考查的知識點是曲線的對稱性，當（a，b）點在曲線上時，（-a，-b）點也在曲線上，則曲線關于原點對稱；當（a，b）點在曲線上時，（-a，b）點也在曲線上，則曲線關于y軸對稱；當（a，b）點在曲線上時，（a，-b）點也在曲線上，則曲線關于x軸對稱；當（a，b）點在曲線上時，（b，a）點也在曲線上，則曲線關于直線x-y=0對稱；當（a，b）點在曲線上時，（-b，-a）點也在曲線上，則曲線關于直線x-y=0對稱，屬于基礎題．