Question

設(shè)f（x）在定義域A上是單調(diào)遞減函數(shù)，又F（x）=a^f（x）（a＞0），當(dāng)f（x）＞0時，F(xiàn)（x）＞1．
求證：（1）f（x）＜0時，F(xiàn)（x）＜1； 
 （2）F（x）在定義域A上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由已知中F（x）=a^f（x）（a＞0），當(dāng)f（x）＞0時，F(xiàn)（x）＞1．我們可以判斷出底數(shù)a＞1，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可以得到f（x）＜0時，F(xiàn)（x）＜1； 
（2）x₁＜x₂，x₁．x₂∈A，根據(jù)f（x）在定義域A上是單調(diào)遞減函數(shù)，可得f（x₂）-f（x₁）＜0，進(jìn)而判斷出F（x₂）-F（x₁）的符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到F（x）在定義域A上是減函數(shù)．

解答：證明：（1）∵f（x）＞0時，F(xiàn)（x）=a^f（x）＞1，
∴a＞1
則f（x）＜0時，-f（x）＞0…（2分）
∴a^-f（x）＞1
∴

1

af(x)

＞1
∴0＜a^f（x）＜1
∴F（x）＜1…（4分）
（2）設(shè)x₁＜x₂，x₁．x₂∈A…（5分）
∵f（x）在A上為減函數(shù)，
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
而F（x₂）-F（x₁）=a^f（x2）-a^f（x1）=a^f（x1）[a^{f（x2）-f（x1）}-1]…（8分）
∵a＞0，
∴a^f（x1）＞0，且當(dāng)f（x₂）-f（x₁）＜0  
而f（x）＜0時，F(xiàn)（x）＜1
∴a^{f（x2）-f（x1）}＜1
∴F（x₂）-F（x₁）＜0∴F（x₂）＜F（x₁）
∴F（x）在定義域A上是減函數(shù)…（13分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是判斷出底數(shù)a＞1，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問題，（2）的關(guān)鍵是熟練掌握定義法（做差法）證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．