設(shè)f(x)在定義域A上是單調(diào)遞減函數(shù),又F(x)=af(x)(a>0),當(dāng)f(x)>0時(shí),F(xiàn)(x)>1.
求證:(1)f(x)<0時(shí),F(xiàn)(x)<1;
(2)F(x)在定義域A上是減函數(shù).

證明:(1)∵f(x)>0時(shí),F(xiàn)(x)=af(x)>1,
∴a>1
則f(x)<0時(shí),-f(x)>0…(2分)
∴a-f(x)>1

∴0<af(x)<1
∴F(x)<1…(4分)
(2)設(shè)x1<x2,x1.x2∈A…(5分)
∵f(x)在A上為減函數(shù),
∴f(x1)>f(x2
即f(x2)-f(x1)<0,
而F(x2)-F(x1)=af(x2)-af(x1)=af(x1)[af(x2)-f(x1)-1]…(8分)
∵a>0,
∴af(x1)>0,且當(dāng)f(x2)-f(x1)<0
而f(x)<0時(shí),F(xiàn)(x)<1
∴af(x2)-f(x1)<1
∴F(x2)-F(x1)<0∴F(x2)<F(x1
∴F(x)在定義域A上是減函數(shù)…(13分)
分析:(1)由已知中F(x)=af(x)(a>0),當(dāng)f(x)>0時(shí),F(xiàn)(x)>1.我們可以判斷出底數(shù)a>1,進(jìn)而根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可以得到f(x)<0時(shí),F(xiàn)(x)<1;
(2)x1<x2,x1.x2∈A,根據(jù)f(x)在定義域A上是單調(diào)遞減函數(shù),可得f(x2)-f(x1)<0,進(jìn)而判斷出F(x2)-F(x1)的符號(hào),進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到F(x)在定義域A上是減函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,其中(1)的關(guān)鍵是判斷出底數(shù)a>1,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題,(2)的關(guān)鍵是熟練掌握定義法(做差法)證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.
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求證:(1)f(x)<0時(shí),F(xiàn)(x)<1; 
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