Question

以下四個命題中，正確的是（　�。�

• A、向量

  a

  =（1，-1，3）與向量

  b

  =（3，-3，6）平行
• B、△ABC為直角三角形的充要條件是

  AB

  •

  AC

  =0
• C、|（

  a

  •

  b

  ）

  c

  c|=|

  a

  |•|

  b

  |•|

  c

  |
• D、若{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }為空間的一個基底，則{

  a

  +

  b

  ，

  b

  +

  c

  ，

  c

  +

  a

  }構(gòu)成空間的另一個基底

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間向量及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：A．利用向量共線定理即可判斷出；
B．△ABC為直角三角形，若A≠

π

2

，則推不出

AB

•

AC

=0；
C.|(

a

•

b

)

c

|=|

a

| |

b

||

c

|cos＜

a

，

b

＞≠|

a

| |

b

||

c

|；
D．利用向量共面定理即可判斷出．

解答： 解：A．設(shè)

a

=（1，-1，3）與向量

b

=（3，-3，6）平行，則存在實數(shù)λ使得

a

=λ

b

，則

1=3λ -1=-3λ 3=6λ

，此方程組無解，因此

a

與

b

不共線，故不正確．
B．△ABC為直角三角形，若A≠

π

2

，則推不出

AB

•

AC

=0，因此不正確；
C.|(

a

•

b

)

c

|=|

a

| |

b

||

c

|cos＜

a

，

b

＞≠|

a

| |

b

||

c

|，因此不正確；
D．假設(shè)存在不全為0的實數(shù)λ，μ使得

a

+

b

=λ(

b

+

c

)+μ(

a

+

c

)，化為(1-μ)

a

+(1-λ)

b

+(-λ-μ)

c

=

0

，
∵{

a

，

b

，

c

}為空間的一個基底，∴

1-μ=0 1-λ=0 -λ-μ=0

，此方程組無解，因此

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

是不共面向量，可構(gòu)成空間的另一個基底．
綜上可知：只有D正確．
故選：D．

點評：本題考查了向量共線定理、向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積運算、向量共面定理等基礎(chǔ)知識，考查了推理能力，屬于中檔題．