Question

18．已知a₁=1，a_n+1=pa_n-n-1（p∈R，n∈N^*）
（1）當(dāng)p=1時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n-n-2，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求p的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)p=1時(shí)，得到a_n+1-a_n=n-1，利用累加法即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_n-n-2，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)p=1時(shí)，a_n+1=a_n-n-1，
即a_n+1-a_n=n-1，
則a₂-a₁=0，
a₃-a₂=1，
a₄-a₃=2，
…
a_n-a_n-1=n-2，
等式兩邊同時(shí)相加得
a_n-a₁=0+1+2+…+（n-2）=$\frac{（n-1）（0+n-2）}{2}$=$\frac{{n}^{2}-3n+2}{2}$，
∴a_n=$\frac{{n}^{2}-3n+2}{2}$+1=$\frac{{n}^{2}-3n+4}{2}$；
（2）∵a_n+1=pa_n-n-1，
∴a_n+1-（n+1）-2=pa_n-n-1-（n+1）-2=pa_n-2n-4=2（$\frac{p}{2}$a_n-n-2），
若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則$\frac{p}{2}$=1，即p=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，利用列舉法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．