Question

12．已知空間四邊形ABCD中，E，H分別為AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）求證：三條直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)；
（3）若AC⊥BD，求異面直線AC與EH所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中位線定理，得EH∥BD，根據(jù)平行線分線段成比例定理的引理，得FG∥BD，則由平行公理得EH∥FG，從而得E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（2）直線EF，GH是梯形的兩腰，它們的延長線必相交于一點(diǎn)P，而由于AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，由公理3知能證明三線共點(diǎn)．
（3）由EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD能求出異面直線AC與EH所成角的大�。�

解答 （1）證明：在△ABD和△CBD中，
∵E、H分別是AB和AD的中點(diǎn)，∴EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
又∵$\frac{CF}{CB}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{1}{3}$，∴FG∥BD．
∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四點(diǎn)共面．
（2）證明：由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直線EF，GH是梯形的兩腰，
所以它們的延長線必相交于一點(diǎn)P
∵AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)．
（3）解：∵E、H分別是AB和AD的中點(diǎn)，∴EH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD，
∵AC⊥BD，∴EH⊥BD，
∴異面直線AC與EH所成角的大小為90°．

點(diǎn)評 本題考查四點(diǎn)共面的證明，考查三條直線交于一點(diǎn)的證明，考查兩異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)