Question

如圖所示幾何體是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱錐B₁-A₁BC₁后所得，點(diǎn)M為A₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C₁⊥平面MBD；
（2）當(dāng)正方體棱長等于

3

時(shí)，求三棱錐D-A₁BC₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）分別證明出DM⊥A₁C₁和BM⊥A₁C₁，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理證明出A₁C₁⊥平面MBD；
（2）先求得M到BD的距離進(jìn)而求得△MBD的面積，進(jìn)而利用體積公式求得答案．

解答： 解：
（1）證明：因?yàn)閹缀误w是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截取三棱錐B₁-A₁BC₁后所得，

DA1=DC1 A1M=C1M ⇒DM⊥A1C1 BA1=BC1 A1M=C1M ⇒BM⊥A1C1 DM∩BM=M

⇒A1C1⊥平面MBD；
（2）由題意知BD=

6

，點(diǎn)M到BD的距離為

3

，
則△MBD的面積為S△MBD=

1

2

×

6

×

3

=

3 2

2

，由（1）知A₁C₁⊥平面MBD
所以VD-A1BC1=

1

3

S△MBD•A1C1=

1

3

×

3 2

2

×

6

=

3

．

點(diǎn)評：本小題以正方體為載體，考查立體幾何的基礎(chǔ)知識．本題通過分層設(shè)計(jì)，考查了空間直線與平面的垂直關(guān)系，簡單幾何體體積的求法，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．