Question

在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊為a，b，c，且2R為△ABC的外接圓的直徑，f（C）=2R（sinAsinC+sinBcosC）+1．
（1）若a=b，求函數(shù)f（C）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a²+b²=2a+2

3

b-4，f（C）≥2，求角C的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用正弦定理及三角恒等變換可求得f（C）=

2

asin（C+

π

4

）+1，從而可求得函數(shù)f（C）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由a²+b²=2a+2

3

b-4，可取得a=1，b=

3

；又f（C）≥2，于是可得sin（C+

π

4

）≥

2

2

，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得角C的取值范圍．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵a=b，
∴f（C）=2R（sinAsinC+sinBcosC）+1=asinC+acosC+1=

2

asin（C+

π

4

）+1，
當(dāng)

π

4

＜C+

π

4

＜

π

2

，即0＜C＜

π

4

時(shí)，函數(shù)f（C）單調(diào)遞增；
當(dāng)

π

2

＜C+

π

4

＜

5π

4

，即

π

4

＜C＜π時(shí)，函數(shù)f（C）單調(diào)遞減；
∴函數(shù)f（C）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

π

4

，π），單調(diào)遞減區(qū)間為（

π

4

，π）；
（2）∵a²+b²=2a+2

3

b-4，
∴（a-1）²+(b-

3

)2=0，
∴a=1，b=

3

；
又f（C）=

2

asin（C+

π

4

）+1=

2

sin（C+

π

4

）+1≥2，
∴sin（C+

π

4

）≥

2

2

，
∴

π

4

≤C+

π

4

≤

3π

4

，解得0≤C+

π

4

≤

π

2

，又C＞0，
∴角C的取值范圍為（0，

π

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦定理及復(fù)合三角函數(shù)的性質(zhì)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算期間能力，屬于中檔題．