Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2a，點(diǎn)E為棱CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁E⊥BD；
（Ⅱ）求平面A₁BD⊥平面EBD；
（Ⅲ）求四面體A₁-BDE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì),平面與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)A₁O，EO；
（Ⅰ）證明A₁O⊥BD，BD⊥AC，從而證明BD⊥平面ACEA₁，從而得證；
（Ⅱ）由勾股定理可證得A₁O⊥OE，從而可證A₁O⊥平面EBD，則平面A₁BD⊥平面EBD；
（Ⅲ）V_A1-BDE=

1

3

•A₁O•S_△EBD=

1

3

×

6

a×

1

2

×2

2

a×

3

a，化簡即可．

解答： 解：如圖，連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，連結(jié)A₁O，EO；
（Ⅰ）證明：∵O是BD的中點(diǎn)，A₁D=A₁B；
∴A₁O⊥BD，
又∵BD⊥AC，A₁O∩AC=O，
∴BD⊥平面ACEA₁，
∴A₁E⊥BD；
（Ⅱ）證明：∵A₁O²=AO²+A₁A²=6a²，
OE²=OC²+CE²=3a²，
A₁E²=A₁C₁²+C₁E²=8a²+a²=9a²，
∴A₁O²+OE²=A₁E²，
∴A₁O⊥OE，
又∵BD∩OE=O，
∴A₁O⊥平面EBD；
∴平面A₁BD⊥平面EBD；
（Ⅲ）V_A1-BDE=

1

3

•A₁O•S_△EBD
=

1

3

×

6

a×

1

2

×2

2

a×

3

a
=2a³．

點(diǎn)評：本題考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系，同時(shí)考查了體積的求法，屬于中檔題．