Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，判斷a₂，a₈，a₅是否成等比數(shù)列，并說明理由．

Answer 1

解：由已知，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，S₃+S₆=2S₉
若q=1，則有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁．
即得3a₁+6a₁=18a₁，得a₁=0，不符合．∴q≠1．
∴
整理得q³（2q⁶-q³-1）=0．
由q≠0得方程2q⁶-q³-1=0．（2q³+1）（q³-1）=0，∵q≠1，q³-1≠0，
∴2q³+1=0，q3=．
，==-2，．
所以a₂，a₈，a₅不成等比數(shù)列．
分析：由已知，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，既有 S₃+S₆=2S₉，分q=1，q≠1 兩種情形利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)S₃+S₆=2S₉得到關(guān)于q的方程，求出q的值后，再按照等比數(shù)列的定義判斷a₂，a₈，a₅是否成等比數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用定義判斷等比數(shù)列，等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，分類討論的意識(shí)．在表示等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，務(wù)必注意公比q是否為1．