已知橢圓c：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)A（0，b），△AF1F2是正三角形且周長(zhǎng)為6．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是直線F1A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|PF2|+|PO|的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（1）由題意，得
a=2c
a+a+2c=6
a2=b2+c2
，解之得a=2，b=
3
，c=1
故橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1，離心率e=
1
2
；
（2）∵△AF1F2是正三角形，可得直線AF1的斜率為k=tan
π
3
=
3

∴直線AF1的方程為y=
3
（x+1）
設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線AF1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M（m，n），則
n
m
•
3
=-1
n
2
=
3
(
m
2
+1)
，
解之得m=-
3
2
，n=
3
2
，可得M坐標(biāo)為（-
3
2
，
3
2
），
∵|PO|=|PM|，|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|＞|MF2|
∴|PF2|+|PM|的最小值為|MF2|=
(-
3
2
-1)2+(
3
2
-0)2
=
7

直線MF2的方程為y=
3
2
-0
-
3
2
-1
（x-1），即y=-
3
5
（x-1）
由
y=-
3
5
(x-1)
y=
3
(x+1)
解得
x=-
2
3
y=
3
3
，所以此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-
2
3
，
3
3
）．
綜上所述，可得求|PF2|+|PO|的最小值為
7
，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-
2
3
，
3
3
）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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