Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（），，，，是橢圓上的四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，線段與交于橢圓內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)重合時(shí)，四邊形的面積為4.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）證明：當(dāng)點(diǎn)，，，在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（）是定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值

【解析】

【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件建立方程組，然后解方程組求出，；（2）先設(shè)四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，然后將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，.再兩式相減得：，求得，進(jìn)而得到，①

將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程，同理可得：，最后設(shè)（），得，即，即，，②。再設(shè)，同理可得：，，③。由①②③得： ，

整理得： ，進(jìn)而得到，從而求出。

解：（Ⅰ）由題可知：，解得，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）設(shè)，，，，

將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，.

兩式相減得：，

∵，∴，①

將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入橢圓方程，同理可得：，

設(shè)（），得，

即，即，，②

設(shè)，同理可得：，，③

由①②③得： ，

整理得： ，

即，

∵，，∴，

所以是定值.