Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，離心率為，且過(guò)點(diǎn)．

（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（）、、、是橢圓上的四個(gè)不同的點(diǎn)，兩條都不和軸垂直的直線和分別過(guò)點(diǎn)， ，且這條直線互相垂直，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（）（）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）由離心率可得，故橢圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程可得， ，從而可得橢圓的方程。（2）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)， 為長(zhǎng)軸長(zhǎng)， 為通徑長(zhǎng)；②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)出直線的方程，運(yùn)用橢圓的弦長(zhǎng)公式可得和，然后驗(yàn)證即可得到結(jié)論。

試題解析：

（）∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 橢圓的方程為，

又點(diǎn)在橢圓上，

∴

解得，

∴ ，

∴ 橢圓的方程為．

（）由（1）得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， ，

①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則,

∴ .

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，設(shè)其，

由直線與互相垂直，可得直線，

由消去y整理得，

設(shè)， ，

則， ，

∴ ，

同理，

∴ ．

綜上可得為定值。