Question

18．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=4ⁿ-2ⁿ，其前n項(xiàng)和為S_n，則數(shù)列{$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$．

Answer 1

分析 通過分組法求和可知S_n=$\frac{4}{3}$（2ⁿ-1）（2ⁿ-$\frac{1}{2}$），進(jìn)而裂項(xiàng)可知$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{3}{2}$•（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=4ⁿ-2ⁿ，
∴S_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{1}{3}•$4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$（2ⁿ-1）（2ⁿ-$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{\frac{4}{3}（{2}^{n}-1）（{2}^{n}-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{3}{2}$•（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴T_n=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$•（1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
=$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$•$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．