Question

2．已知以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立即坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（2，1），若$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{MB}$，求直線l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．
（2）設(shè)A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）．把直線的參數(shù)方程代入曲線C₁的方程，根據(jù)t的幾何意義即可求出．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程是x²+y²=4x，
即（x-2）²+y²=4（4分）
（2）設(shè)A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）
由已知|$\overrightarrow{MA}$|=2|$\overrightarrow{MB}$|，注意到M（2，1）是直線參數(shù)方程恒過的定點(diǎn)，
∴t_A=-2t_B①
聯(lián)立直線的參數(shù)方程與曲線C₁的直角坐標(biāo)方程得：t²cos²θ+（1+tsinθ）²=4，
整理得：t²+2tsinθ-3=0，（6分）
∴t_A+t_B=-2sinθ，t_A•t_B=-3，與①聯(lián)立得：sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，cosθ=±$\frac{\sqrt{10}}{4}$
∴直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{10}}{4}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{6}}{4}t}\end{array}\right.$，（為參數(shù)）或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{10}}{4}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{6}}{4}t}\end{array}\right.$，（為參數(shù)）．（8分）
消去參數(shù)得的普通方程為y=$\frac{\sqrt{15}}{5}$x-$\frac{2\sqrt{15}}{5}$+1或y=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$x+$\frac{2\sqrt{15}}{5}$+1（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)方程、及參數(shù)方程的互化，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．