Question

13．如圖，A、B、C，O₁，O₂∈平面α，AB=BC=1，∠ABC=90°，D為動點，DC=$\sqrt{3}$，且DC⊥BC．當點D從O₁順時針轉(zhuǎn)動到O₂的過程中，異面直線AD與BC所成角的余弦值（　�。�

• A． 一直變小
• B． 一直變大
• C． 先變小，后變大
• D． 先變小，再變大，后變小

Answer 1

分析 由已知得到BC⊥平面O₁DCO₂，以C為原點，CB為x軸，CO₂為y軸，過C作平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能推導出當點D從O₁順時針轉(zhuǎn)動到O₂的過程中，異面直線AD與BC所成角的余弦值一直減�。�

解答 解：∵A、B、C，O₁，O₂∈平面α，AB=BC=1，∠ABC=90°，D為動點，DC=$\sqrt{3}$，且DC⊥BC，
∴BC⊥平面O₁DCO₂，
以C為原點，CB為x軸，CO₂為y軸，過C作平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，-1，0），B（1，0，0），C（0，0，0），D（0，y，z），其中-$\sqrt{3}≤y≤\sqrt{3}$，0$≤z≤\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，y+1，z），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{1}{\sqrt{1+（y+1）^{2}+{z}^{2}}}$，
∵當點D從O₁順時針轉(zhuǎn)動到O₂的過程中，
y+1的取值從1$-\sqrt{3}$到1+$\sqrt{3}$逐漸增大，z的值先0逐漸增加到$\sqrt{3}$，再從$\sqrt{3}$逐漸減少到0，
∴異面直線AD與BC所成角的余弦值一直減�。�
故選：A．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法及應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．