Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-

2

a

x+

1

a

）e^ax（a＞0）
（1）求曲線f（x）在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a∈（1，2），使f（x）＞

2

a2

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在A點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．
（2）先對(duì)函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．
（3）先將原來(lái)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究f（x）在區(qū)間上的最值問(wèn)題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最小值．

解答：解（1）∵a＞0，f（x）=（x²-

2

a

x+

1

a

）e^ax，
∴f′（x）=（2x-

2

a

）e^ax+（x²-

2

a

x+

1

a

）•a•e^ax=（2x-

2

a

+ax²-2x+1）e^ax=（ax²+

a-2

a

）e^ax，（2分）
于是f（0）=

1

a

，f′（0）=

a-2

a

，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)A（0，f（0））處的切線方程為y-

1

a

=

a-2

a

（x-0），
即（a-2）x-ay+1=0．（4分）
（2）∵a＞0，e^ax＞0，∴只需討論ax²+

a-2

a

的符號(hào)．（5分）
ⅰ）當(dāng)a＞2時(shí)，ax²+

a-2

a

＞0，這時(shí)f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．
ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=2x²e^2x≥0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．（6分）
ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，令f′（x）=0，解得x₁=-

2-a

a

，x₂=

2-a

a

．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在（-∞，-

2-a

a

），（

2-a

a

，+∞）為增函數(shù)，f（x）在（-

2-a

a

，

2-a

a

）為減函數(shù)．（9分）
（3）當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，

2-a

a

∈（0，1）．由（2）知f（x）在（0，

2-a

a

）上是減函數(shù)，在（

2-a

a

，1）上是增函數(shù)，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）_min=f（

2-a

a

）=

2

a2

（1-

2-a

）e

2-a

，所以f（x）＞

2

a2

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)恒成立，等價(jià)于（1-

2-a

）e

2-a

＞1恒成立．當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，

2-a

∈（0，1），設(shè)g（t）=（1-t）e^t，t∈（0，1），則g′（t）=e^t-e^t-te^t＜0，表明g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，于是可得g（t）∈（0，1），即a∈（1，2）時(shí)（1-

2-a

）e

2-a

＜1恒成立，因此，符合條件的實(shí)數(shù)a不存在．（14分）

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，解答的關(guān)鍵是會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．