Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（0，-2

2

），F(xiàn)₂（0，2

2

），離心率e=

2 2

3

（1）求橢圓方程；
（2）斜率為-9的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求直線l方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓c=2

2

，e=

2 2

3

，求出a，b，即可得出橢圓的方程；
（2）利用點(diǎn)差法，結(jié)合線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-

1

2

，即可求直線l的斜率，從而可得直線l方程．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，…（1分）
由已知c=2

2

，e=

2 2

3

解得a=3，b=1…（4分）
∴橢圓方程為：

y2

9

+x2=1．…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為P（-

1

2

，t）在橢圓

y2

9

+x2=1內(nèi)，…（6分）
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：x₁+x₂=-1，y₁+y₂=2t，
A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），代入橢圓方程相減可得k_AB=-

9

2t

=-9…（10分）
解得t=

1

2

，
∴P（-

1

2

，

1

2

）…（11分）
∴直線l方程為：9x+y+4=0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．