Question

18．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x-y≥-2\\ x≤2\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镈，點(diǎn)O（0，0），A（1，0）．若點(diǎn)M是D上的動(dòng)點(diǎn)，則$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}}{{|{\overrightarrow{OM}}|}}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)z=$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}}{{|{\overrightarrow{OM}}|}}$，則z=$\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}}{{|{\overrightarrow{OM}}|}}$=|$\overrightarrow{OA}$|•$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OM}|}$=|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠A0M，
∵O（0，0），A（1，0）．
∴|$\overrightarrow{OA}$|=1，
∴z=|$\overrightarrow{OA}$|•cos∠A0M=cos∠A0M，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
要使cos∠A0M，
則∠A0M最大，
即當(dāng)M在C處時(shí)，∠A0M最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-y=-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即C（1，3），
則|AC|=$\sqrt{10}$，
則cos∠A0M=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用向量的數(shù)量積將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．