Question

設函數(shù)f（x）=alnx，g(x)=

1

2

x2．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）記g'（x）為g（x）的導函數(shù)，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若在[1，e]上存在一點x₀，使得f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+

1

g′(x0)

成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=4時，可得h(x)=4lnx-

1

2

x2，利用導數(shù)公式算出h′(x)=

4

x

-x，再解關于x的不等式并結(jié)合函數(shù)h（x）的定義域，即可得到函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）通過移項合并同類項，化簡不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）得a(x-lnx)≥

1

2

x2-x，再進行變量分離得a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，由此設y=

1 2 x2-x

x-lnx

并討論其單調(diào)性得到ymin=-

1

2

，結(jié)合原不等式有解即可算出實數(shù)a的取值范圍；
（3）原不等式等價于alnx0-

a

x0

＞x0+

1

x0

，整理得x0-alnx0+

1+a

x0

＜0，設右邊對應的函數(shù)為m（x），求得它的導數(shù)m'（x）=

(x-1-a)(x+1)

x2

，然后分a≤0、0＜a≤e-1和a＞e-1三種情況加以討論，分別解關于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（

e2+1

e-1

，+∞）．

解答：解：（1）當a=4時，可得f（x）=4lnx，此時h(x)=4lnx-

1

2

x2，
由h′(x)=

4

x

-x＞0得-2＜x＜2，結(jié)合x＞0，可得0＜x＜2．
所以h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2）．…（4分）
（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即為alnx+2x≤(a+3)x-

1

2

x2，
化簡得：a(x-lnx)≥

1

2

x2-x，
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，設y=

1 2 x2-x

x-lnx

，
由y′=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
∵當x∈（1，e）時x-1＞0，

1

2

x+1-lnx＞0，∴y′＞0在x∈[1，e]時成立．
由不等式有解，可得知a≥ymin=-

1

2

，即實數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，+∞）…（10分）
（3）不等式f(x0)-f′(x0)＞g′(x0)+

1

g′(x0)

等價于alnx0-

a

x0

＞x0+

1

x0

，
整理得x0-alnx0+

1+a

x0

＜0，設m(x)=x-alnx+

1+a

x

，
則由題意可知只需在[1，e]上存在一點x₀，使得m（x₀）＜0．
對m（x）求導數(shù)，得m′(x)=1-

a

x

-

1+a

x2

=

x2-ax-(1+a)

x2

=

(x-1-a)(x+1)

x2

，
因為x＞0，所以x+1＞0，令x-1-a=0，得x=1+a．…（12分）
①若1+a≤1，即a≤0時，令m（1）=2+a＜0，解得a＜-2．
②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e-1時，m（x）在1+a處取得最小值，
令m（1+a）=1+a-aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得

a+1+1

a

＜ln(a+1)
考察式子

t+1

t-1

＜lnt，因為1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立
③當1+a＞e，即a＞e-1時，m（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，只需m（e）＜0，得a＞

e2+1

e-1

，
又因為e-1-

e2+1

e-1

=

-2e

e-1

＜0，所以a＞

e2+1

e-1

．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（

e2+1

e-1

，+∞）．…（16分）

點評：本題給出含有分式和對數(shù)符號的函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并討論關于x的不等式解集非空的問題，著重考查了導數(shù)的公式和運算法則、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)在最大最小值問題中的應用等知識，屬于中檔題．