Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+2x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)a，使得函數(shù)T（x）=

g(x)

x

-f′（x）+（2a+1）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有兩個不同的零點（e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分a=0與a≠0兩種情況討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，
（2）先求函數(shù)函數(shù)T（x）的表達式，把函數(shù)T（x）的零點轉(zhuǎn)化為求方程T（x）=0的根，再構(gòu)造
函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求解．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=2x在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，符合題意．
當(dāng)a≠0時，y=f（x）的對稱軸方程為x=-

2

a

，
由于y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，所以-

2

a

≤1，解得a≤-2或a＞0，
綜上，a的取值范圍是a≥0，或a≤-2．  
（2）T（x）=

lnx

x

-（ax+2）+（2a+1），函數(shù)T（x）在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有兩個不同的零點，
∴T（x）=0，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0在區(qū)間（

1

e

，e）內(nèi)有兩個不同的實根，
設(shè)H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx  （x＞0）
H′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

令H′（x）=0，因a為正數(shù)，解得x=1或x=-

1

2a

（舍）
當(dāng)x∈（

1

e

，1）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（1，e）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)，
為滿足題意，只需H（x）在（

1

e

，e）內(nèi)有兩個不相等的零點，故

H( 1 e )＞0 H(x)min=H(1)＜0 H(e)＞0

解得1＜a＜

e2+e

2e-1

點評：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的零點與方程的根之間的關(guān)系，關(guān)鍵是相互轉(zhuǎn)化．