如圖所示，已知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，寫(xiě)出曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（不要求證明）
（3）直線過(guò)切點(diǎn)與直線垂直，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為．

解析試題分析：（1）本題動(dòng)點(diǎn)依賴于圓上中，本來(lái)這種問(wèn)題可以用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，但本題用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法會(huì)很繁，考慮到圓的半徑不變，垂直平分線的對(duì)稱性，我們可以看出
，是定值，而且，因此點(diǎn)軌跡是橢圓，這樣我們可以利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出所求軌跡方程；（2）圓錐曲線的過(guò)其上點(diǎn)的切線方程，橢圓，切線為，
雙曲線，切線為，拋物線，切線為；（3）這題考查同學(xué)們的計(jì)算能力，現(xiàn)圓錐曲線切線有關(guān)的問(wèn)題，由（2）我們知道切線斜率為，則直線的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，可以寫(xiě)出直線方程，然后求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線的方程，接著可從的方程觀察出是不是過(guò)定點(diǎn)，過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)？這里一定要小心計(jì)算．
試題解析：（1）點(diǎn)是線段的垂直平分線,∴ 

∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（－1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓.
橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2.  
∴曲線E的方程為　　   5′
（2）曲線在點(diǎn)處的切線的方程是.   8′
（3）直線的方程為，即 .
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則，解得
直線PD的斜率為
從而直線PD的方程為：
即,從而直線PD恒過(guò)定點(diǎn).   16′
考點(diǎn)：（1）橢圓的定義；（2）橢圓的切線方程；（3）垂直，對(duì)稱，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知是橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線y＝上到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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已知橢圓：.

(1)橢圓的短軸端點(diǎn)分別為(如圖)，直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)滿足，且.
①證明直線與軸交點(diǎn)的位置與無(wú)關(guān)；
②若∆面積是∆面積的5倍，求的值；
(2)若圓:.是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線,其中交圓于、兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn).求面積取最大值時(shí)直線的方程.

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如圖,已知橢圓的長(zhǎng)軸為AB,過(guò)點(diǎn)B的直線與
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點(diǎn),且

（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）設(shè)P是此橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn), 軸,H為垂足,延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn),為的中點(diǎn)，判定直線與以為直徑的圓O位置關(guān)系。

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已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)。
（Ⅰ）試問(wèn)在軸上是否存在不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，使得與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由。
（Ⅱ）若的面積為，求向量的夾角；

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已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，．

（1）求橢圓的離心率的取值范圍；
（2）當(dāng)取最大值時(shí)，過(guò)的圓的截軸的線段長(zhǎng)為6，求橢圓的方程；
（3）在（2）的條件下，過(guò)橢圓右準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．試探究直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

）如圖，橢圓：，、、、為橢圓的頂點(diǎn)

（Ⅰ）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為，求橢圓方程；
（Ⅱ）已知:直線相交于，兩點(diǎn)（不是橢圓的左右頂點(diǎn)），并滿足 試研究：直線是否過(guò)定點(diǎn)？ 若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過(guò)點(diǎn).
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，求證：.

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已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，求直線的方程；
(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．

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