Question

已知拋物線C₁：y²=8x與雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F₂，點A是曲線C₁、C₂在第一象限的交點，且|AF₂|=5．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）過點Q（0，-2）的直線l交雙曲線C₂的右支于A、B兩個不同的點（B在A、Q之間），若點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）確定雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），A（x₀，y₀）在拋物線C1：y2=8x上，可得A的坐標，由此能求出雙曲線的方程．
（2）直線l的斜率存在且不為0，設直線l：y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l：y=kx-2代入雙曲線方程得（3-k²）x²+4kx-7=0，由此入手，能夠求出的取值范圍．

解答： 解：（1）∵拋物線C1：y2=8x的焦點為F₂（2，0），
∴雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），
設A（x₀，y₀）在拋物線C1：y2=8x上，且|AF₂|=5，
由拋物線的定義得，x₀+2=5，∴x₀=3，∴

y

2 0

=24，
∴

9 a2 - 24 b2 =1 a2+b2=4

∴

a2=1 b2=3

∴雙曲線C₂的方程為：x2-

y2

3

=1．              …（5分）
（2）直線l的斜率存在且不為0，設直線l：y=kx-2，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直線l：y=kx-2代入雙曲線方程得（3-k²）x²+4kx-7=0，則

3-k2≠0 △=16k2+28(3-k2)＞0 x1+x2= 4k k2-3 ＞0 x1x2= 7 k2-3 ＞0

解得

3

＜k＜

7

…①…（7分）
∵點H（7，0）在以線段AB為直徑的圓的外部，則

HA

•

HB

＞0，
即

HA

•

HB

=(x1-7，y1)•(x2-7，y2)=(x1-7)•(x2-7)+y1y2=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53=(1+k2)•

7

k2-3

-(7+2k)•

4k

k2-3

+53=

7k2+7-8k2-28k+53k2-159

k2-3

＞0，解得k＞2…②
由①、②得實數(shù)k的范圍是2＜k＜

7

，…（9分）
由已知λ=

S△AQH

S△BQH

=

|AQ|

|BQ|

，∵B在A、Q之間，則

QA

=λ

QB

，且λ＞1，
∴（x₁，y₁+2）=λ（x₂，y₂+2），則x₁=λx₂，∴

(1+λ)x2= 4k k2-3 λ x 2 2 = 7 k2-3

則

(1+λ)2

λ

=

16

7

•

k2

k2-3

=

16

7

(1+

3

k2-3

)，…（11分）
∵2＜k＜

7

，∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

64

7

，解得

1

7

＜λ＜7，且λ≠1
又λ＞1，∴1＜λ＜7．故λ的取值范圍是（1，7）…（13分）

點評：本題考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．