Question

已知函數f（x）=ax²+xlnx（a∈R）．
（1）當a=-

1

2

時，討論函數f（x）的單調性；
（2）在區(qū)間（1，2）內任取兩個實數p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出f′（x）f′（x）_max=f′（1）=0，從而f′（x）≤0，得函數f（x）在定義域內遞減；
（2）

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

，表示點（p+1，f（p+1））與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，得f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）內恒成立，得g（x）在（2，e）遞減，在（e，3）遞增，得2a≥-

ln2

2

，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）當a=-

1

2

時，f（x）=-

1

2

x²+xlnx，定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=-x+1+lnx，
令F（x）=f′x），F′（x）=

1-x

x

，
當0＜x＜1時，F′（x）＞0，f′（x）在（0，1）遞增，
當x＞1時，F′（x）＜0，f′（x）在（1，+∞）遞減，
∴f′（x）_max=f′（1）=0，從而f′（x）≤0，
∴函數f（x）在定義域內遞減；
（2）

f(p+1)-f(q+1)

p-q

=

f(p+1)-f(q+1)

(p+1)-(q+1)

，
表示點（p+1，f（p+1））與點（q+1，f（q+1））連線的斜率，
又1＜p＜2，1＜q＜2，2＜p+1＜3，2＜q+1＜3，
即函數f（x）的圖象在區(qū)間（2，3）上的任意兩點連線的斜率大于1，
即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）內恒成立，
等價于當x∈（2，3）時，2a＞-

lnx

x

恒成立，
設g（x）=-

lnx

x

，x∈（2，3），則g′（x）=

lnx-1

x2

，
若g′x）=

lnx-1

x2

=0，則x=e，
當2＜x＜e時，g′（x）＜0，g（x）在（2，e）遞減，
當e＜x＜3時，g′（x）＞0，g（x）在（e，3）遞增，
又g（2）=-

ln2

2

＞g（3），
∴2a≥-

ln2

2

，
∴a≥-

ln2

4

．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，參數的應用，是一道綜合題．