Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為

π

2

，求函數(shù)y=f（x）的對稱軸．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)兩角和與差的正弦公式及二倍角公式將函數(shù)f（x）的解析式進行化簡，化簡之后就能求得它的值域．
（2）由于函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為

π

2

，所以令f（x）=-1，解出的x便是y=-1與y=f（x）的交點的橫坐標，找兩個相鄰的，令它們的差為

π

2

，解出ω即可．

解答： 解：（1）f（x）=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

+sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-1+cosωx
=

3

sinωx-cosωx-1=2sin(ωx-

π

6

)-1；
∴-3≤f（x）≤1
∴函數(shù)f（x）的值域是[-3，1]．
（2）∵函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為

π

2

；
∴令2sin(ωx-

π

6

)-1=-1得sin(ωx-

π

6

)=0；
∴取兩個相鄰的解為：ωx-

π

6

=0，或ωx-

π

6

=π，解得：x=

π

6ω

，或x=

7π

6ω

；
∴

7π

6ω

-

π

6ω

=

π

2

，∴ω=2；
∴函數(shù)f（x）的周期為π．
∴令2x-

π

6

=

π

2

+kπ得：x=

π

3

+

kπ

2

；
∴函數(shù)y=f（x）的對稱軸是：x=

π

3

+

kπ

2

．

點評：考查的知識點為：兩角和與差的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函數(shù)的對稱軸．找出兩個相鄰交點的橫坐標是求解本題的關鍵．