Question

已知{a_n}是公差d＞0的等差數列，首項a₁=3，前n項和為S_n，數列{b_n}是等比數列，其中b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令c_n=

a n，a n≥b n b n，an＜b n

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設出公差和公比，根據等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式，以及條件列出方程求解，根據條件進行取舍，代入等差數列、等比數列的通項公式化簡即可；
（2）由（1）求出的通項公式，確定n的范圍與a_n的b_n大小關系，再求出c_n，然后根據c_n以及等差數列、等比數列的前n項和公式，分類求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設公差為d，公比為q，則
a₂b₂=（3+d）q=12             ①，
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20   ②，
由①②得，3d²-2d-21=0，解得d=3或-

7

3

，
∵{a_n}是公差d＞0的等差數列，
∴d=3，代入①得，q=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=1×2^n-1=2^n-1；
（2）由（1）得，當n≤4時，a_n≥b_n；當n≥5時，a_n＜b_n，
∴cn=

a n，a n≥b n b n，an＜b n

=

3n，    n≤4 2n-1， n≥5

，
則當n≤4時，T_n=a₁+a₂+…+a_n=

3n(n+1)

2

，
當n≥5時，T_n=a₁+a₂+a₃+a₄+b₅+b₆+…+b_n
=30+

16(1-2n-4)

1-2

=14+2ⁿ，
綜上得，Tn=

3n(n+1) 2   ，  n≤4 14+2n，   n≥5

．

點評：本題考查了等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式綜合應用，以及分類討論思想和計算能力．