Question

坐標(biāo)系與參數(shù)方程，在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心坐標(biāo)為(3，

π

3

)，半徑為3，點(diǎn)Q在圓周上運(yùn)動(dòng)，
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)與極點(diǎn)O重合，x軸非負(fù)半軸與極軸重合，M為OQ中點(diǎn)，求點(diǎn)M的參數(shù)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，θ），由余弦定理得出關(guān)于ρ，θ的關(guān)系式，即為所求圓的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由（I）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程為ρ=3cos(θ-

π

3

)，再化為直角坐標(biāo)方程得點(diǎn)M為一個(gè)圓心在(

3

4

，

3 3

4

)，半徑為r=

3

2

的圓，最后寫出其參數(shù)方程即可．

解答：解：（I）連OC并延長交圓于A，圓過極點(diǎn)O，OA為⊙C直徑
設(shè)P（ρ，θ）為⊙C上任一點(diǎn)Rt△OPA中，ρ=6cos(θ-

π

3

)
（II）點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程為ρ=3cos(θ-

π

3

)
化為直角坐標(biāo)方程得：(x-

3

4

)2+(y-

3 3

4

)2=

9

4

，
點(diǎn)M為一個(gè)圓心在(

3

4

，

3 3

4

)，半徑為r=

3

2

的圓，
其參數(shù)方程

x= 3 4 + 3 2 cosθ y= 3 3 4 + 3 2 sinθ

（θ為參數(shù)）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．屬于基礎(chǔ)題．