Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面，為A₁A上一點，且三棱錐D-ABC的體積為三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的．
（1）證明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）在直線C₁B上是否存在一點E，使A₁E平行于平面BCD，若存在，求C₁E與EB的比值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵三棱錐D-ABC的體積為三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積的，
∴AD=AA₁，即D為AA₁的中點
∴AC=AD=A₁D=A₁C₁
∴∠CDA=∠C₁DA₁=45°
∴C₁D⊥CD
∵BC⊥平面A₁ACC₁，
∴C₁D⊥BC
∵CD∩BC=C
∴C₁D⊥平面BCD
∵C₁D?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）解：存在C₁B的中點E，使A₁E平行于平面BCD，證明如下：
取B₁B的中點F，連接A₁F，EF，A₁E

則A₁F∥BD
∵EF∥B₁C₁∥BC，∴平面A₁EF∥平面BDC，
∵A₁E?平面A₁EF
∴A₁E∥平面BCD
此時，C₁E與EB的比值為1．
分析：（1）先證明BC⊥平面A₁ACC₁，再證明C₁D⊥平面BCD，即可證明平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）存在C₁B的中點E，使A₁E平行于平面BCD，取B₁B的中點F，連接A₁F，EF，A₁E，證明平面A₁EF∥平面BDC，即可證明A₁E∥平面BCD．
點評：本題考查面面垂直，考查線面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．