Question

17．甲有一個箱子，里面放有x個紅球，y個白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一個箱子，里面放有2個紅球，1個白球，1個黃球．現在甲從箱子里任取2個球，乙從箱子里任取1個球．若取出的3個球顏色全不相同，則甲獲勝．
（1）試問甲如何安排箱子里兩種顏色球的個數，才能使自己獲勝的概率最大？
（2）在（1）的條件下，設取出的3個球中紅球的個數為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）根據甲從箱子任取2個球，乙從箱子里在取1個球，若取出的3個球顏色全不相同，則甲獲勝，可得甲獲勝的概率，再利用基本不等式，可得x，y的值；
（2）由題意知取出的3個球中紅球個數ξ的取值為1，2，3，4，分別求出其發(fā)生的概率即可．

解答 解：（1）取出的3個球顏色全不相同x×y×1=種，總的基本事件有${{c}_{4}^{1}c}_{4}^{2}=24$種，可得甲獲勝的概率P=$\frac{xy}{24}$
$\frac{xy}{24}≤\frac{（\frac{x+y}{2}）^{2}}{24}=\frac{1}{6}$，當且僅當x=y=2時“=”成立
所以當紅球與白球各2個時甲獲勝的概率最大．
（2）取出的3個球中紅球個數ξ=0，1，2，3
當ξ=0時，有${{c}_{2}^{2}c}_{2}^{1}=2$種情況，ξ=1時，有${{c}_{2}^{2}c}_{2}^{1}{{+c}_{2}^{1}c}_{2}^{1}=10$種情況，ξ=3時，有${{c}_{2}^{1}c}_{2}^{2}=2$種情況             ξ=2時，有24-2-10-2=10種情況．              
p（ξ=0）=$\frac{1}{12}$              p（ξ=1）=$\frac{5}{12}$              p（ξ=2）=$\frac{5}{12}$          p（ξ=3）=$\frac{1}{12}$ 
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

點評 考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的期望，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是理解題意，搞清變量的所有取值及求相應的概率，屬于中檔題．．