Question

3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：$\frac{1}{\sqrt{1×2}}+\frac{1}{\sqrt{2×3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$$＜\sqrt{n}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，注意在證明n=k+1時利用不等式$\frac{1}{\sqrt{（k+1）（k+2）}}$＜$\frac{1}{\sqrt{k（k+1）}}$放縮．

解答 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=$\frac{1}{\sqrt{2}}$＜1=右邊；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，$\frac{1}{\sqrt{1×2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2×3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k（k+1）}}$$＜\sqrt{k}$成立．
則當(dāng)n=k+1時，左邊=$\frac{1}{\sqrt{1×2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2×3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k（k+1）}}$+$\frac{1}{\sqrt{（k+1）（k+2）}}$$＜\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{（k+1）（k+2）}}$＜$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k（k+1）}}$=$\sqrt{k}$+$（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$=$\sqrt{k+1}$=右邊．
∴當(dāng)n=k+1時，不等式成立．
綜上可得：?n∈N^*，$\frac{1}{\sqrt{1×2}}+\frac{1}{\sqrt{2×3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$$＜\sqrt{n}$成立．

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明不等式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．