Question

17．一塊邊長為10cm 的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐的無蓋容器，試把容器的體積V表示為x的函數(shù)，并求容積的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)出所截等腰三角形的底邊邊長為xcm，在直角三角形中根據(jù)兩條邊長利用勾股定理做出四棱錐的高，表示出四棱錐的體積，根據(jù)實(shí)際意義寫出定義域．再由三元基本不等式即可得到所求最大值．

解答 解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為xcm，
在Rt△EOF中，EF=5cm，OF=$\frac{1}{2}$xcm，
∴EO=$\sqrt{25-\frac{1}{4}{x}^{2}}$，
∴V=$\frac{1}{3}$x²$\sqrt{25-\frac{1}{4}{x}^{2}}$．
依題意函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0＜x＜10}，
則V²=$\frac{1}{9}$x⁴（25-$\frac{1}{4}$x²）=$\frac{1}{72}$x²•x²•（200-2x²）
≤$\frac{1}{72}$（$\frac{{x}^{2}+{x}^{2}+200-2{x}^{2}}{3}$）³=$\frac{8×1{0}^{6}}{72×27}$，
即有x²=200-2x²，即x=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$cm時，該容器的容積取得最大值，
且為$\frac{1000\sqrt{3}}{27}$cm³．

點(diǎn)評 本題考查正四棱錐的體積的最大值，考查基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．