已知函數(shù)，x＞0．

　�。á瘢�f（x）在區(qū)間（0，＋∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明之；

　�。á颍┤舢�(dāng)x＞0時，恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

 

答案：
解析：

解：（Ⅰ）

　　　　　　   ∵  ，  ∴  ，，，  ∴  ．

　　　　　　   因此在區(qū)間（0，＋∞）上是減函數(shù)．

　　（Ⅱ）方法一：當(dāng)時，恒成立．

　　　　  令，，  ∴  正整數(shù)k不大于3．

　　　　  以下證k＝3時，恒成立．

　　　　  即證恒成立．

　　　　  設(shè)，則．

　　　　  當(dāng)x＝e－1時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．

　　∴  當(dāng)x＝e－1時，取得最小值，

　　∴  當(dāng)時，

　　恒成立．

　　故所求正整數(shù)k的最大值為3．

　　方法二：對恒成立．即對x＞0恒成立．

　　記，只需k小于的最小值．

　　

　　　　 ＝

　　令，，

　　記，則，

　　∴  在（0，＋∞）上增．，

　　，∴  有惟一實根．

　　．

　　從而有

x

（0，a）

a

(a,＋∞)

－

0

＋

減

極小值

增

　　故在（0，＋∞）的最小值為．

　　，，故所求正整數(shù)k的最大值為3．

 


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
|lgx|(0＜x＜10)
(x-20)2
100
(x≥10)
，若a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），則abcd的取值范圍是
（300，400）
（300，400）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湛江一模）已知函數(shù)f（x）的圖象是在[a，b]上連續(xù)不斷的曲線，定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函數(shù)f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數(shù)k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=2sinx(0≤x≤
π
2
)．
（1）求f1（x），f2（x）的表達(dá)式；
（2）判斷f（x）是否為[0，
π
2
]上的“k階收縮函數(shù)”，如果是，請求對應(yīng)的k的值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•臨沂二模）已知函數(shù)y=
x
（0≤x≤4）的值域為A，不等式x2-x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個數(shù)，b是從集合B中任取一個數(shù)，則a＞b的概率是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年周至二中三模理） 已知函數(shù)f (x)（0≤x≤1）的圖象的一段圓弧（如圖所示）若，則 （   ）       

（A）    （B）

（C）     （D）前三個判斷都不正確

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(14分)已知函數(shù),（ x>0）．

（I）當(dāng)0<a<b，且f(a)=f(b)時，求證：ab>1；

（II）是否存在實數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

（III）若存在實數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f(x)的定義域為 [a，b]時，值域為 [ma，mb]

(m≠0),求m的取值范圍．

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