Question

已知函數(shù)f（x）=2x-π，g（x）=cosx．
（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），若，試比較與的大小關(guān)系；
（Ⅱ）若且f（x_n+1）=g（x_n）．求證：．

Answer 1

解：（Ⅰ）h（x）=2x-π-cosx．∴
=．（2分）
令．
則．
又．
∴當(dāng)k為偶數(shù)時，時，?'（x）＜0．
x∈時，?'（x）＞0．（5分）
∴?（x）＞?（x₂）=0．∴從而．（6分）
同理可得當(dāng)k為奇數(shù)時，．
∴當(dāng)k為偶數(shù)時，，
當(dāng)k為奇數(shù)時，．（7分）
（Ⅱ）由條件知：2x_n+1-π=cosx_n．
當(dāng)，當(dāng)，∴x∈R時恒有|x|≥|sinx|．（9分）
故．
又，∴．∴
=．（14分）
分析：（I）h（x）=2x-π-cosx，令．然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，討論k的奇偶，即可得到與的大小關(guān)系；
（II）由條件知：2x_n+1-π=cosx_n，則x∈R時恒有|x|≥|sinx|，從而得到，然后利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求和即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，以及數(shù)列與不等式的綜合，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．