Question

8．長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中E、F分別在BB₁、DD₁上且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
（1）求證：A₁C⊥面AEF；
（2）若AB=4，AD=3，AA₁=5，求異面直線(xiàn)A₁C、BD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)量關(guān)系可得A₁C⊥AE，A₁C⊥AF，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得；
（2）建立坐標(biāo)系，可得$\overrightarrow{{A}_{1}C}$和$\overrightarrow{BD}$的坐標(biāo)，由直線(xiàn)的夾角和向量夾角的關(guān)系可得．

解答 解：（1）如圖所示，∵CB⊥平面A₁B，
∴A₁C在平面A₁B上的射影為A₁B，
由A₁B⊥AE，AE?平面A₁B可得A₁C⊥AE，
同理可證A₁C⊥AF，
∵A₁C⊥AF，A₁C⊥AE，AF∩AE=A，
∴A₁C⊥平面AEF；
（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由AB=4，AD=3，AA₁=5可得A₁（3，0，0），
C（0，4，5），B（3，4，5），D（0，0，5），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-3，4，5），$\overrightarrow{BD}$=（-3，-4，0）
∴異面直線(xiàn)A₁C、BD所成角的余弦值為|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{BD}$＞|
=$\frac{|9-16|}{\sqrt{（-3）^{2}+{4}^{2}+{5}^{2}}•\sqrt{（-3）^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{50}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成的角和線(xiàn)面垂直的判定，涉及空間向量的夾角，屬中檔題．