Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的離心率為2，一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1，則該雙曲線的方程為3x²-y²=1．

Answer 1

分析 設(shè)右焦點(diǎn)為（ c，0 ），一條漸近線為bx-ay=0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，求出b，再根據(jù)離心率以及c²=a²+b²，求出c，即可求出結(jié)果

解答 解：設(shè)右焦點(diǎn)為（ c，0 ），一條漸近線為bx-ay=0，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，可得b=1，
因為離心率$\frac{c}{a}$=2，c²=a²+b²，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以雙曲線的方程為3x²-y²=1，
故答案為：3x²-y²=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，由$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，求出b值是解題的關(guān)鍵．