Question

已知函數(shù)f（x）=-2x²+bx+c在x=1時有最大值1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若0＜m＜n，且x∈[m，n]時，f（x）的值域為．試求m，n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將函數(shù)f（x）=-2x²+bx+c進(jìn)行配方，然后根據(jù)f（x）=-2x²+bx+c在x=1時有最大值1，列等式進(jìn)行求解；
（2）由題意0＜m＜n，可得f（x）在[m，n]上單調(diào)減，得m，n是方程的兩個解，從而求出m和n．
解答：解：（1）∵f（x）=-2x²+bx+c在x=1時有最大值1，
又∵f（x）=-2x²+bx+c=-2（x-）²++c
∴=1，+c=1，
∴b=4，c=-1，
∴f（x）=-2（x-1）²+1，（4分）
（2）∴f（x）≤1，
∴，即m≥1，
∴f（x）在[m，n]上單調(diào)減，（6分）
∴且．（8分）
∴m，n是方程的兩個解，方程即（x-1）（2x²-2x-1）=0，（10分）
解方程，得解為1，，．
∴1≤m＜n，
∴m=1，．（14分）
點(diǎn)評：此題是道綜合題，考查了函數(shù)的最值問題及函數(shù)增減性，難度比較大．