Question

8．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx）-2sin²$\frac{ωx}{2}$+α（ω＞0）的最小正周期為3π，當x∈[0，π]時，函數f（x）的最小值為0．
（I）求函數f（x）的表達式；
（II）若函數f（x）圖象向右平移m（m＞0）個單位后所對應的函數圖象是偶函數圖象，求m的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性求得ω、再根據正弦函數的定義域和值域求得α的值，可得函數f（x）的表達式．
（II）由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得所得圖象對應函數的解析式，再根據正弦函數、余弦函數的奇偶性求得m=-$\frac{3}{2}$kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，從而得到m的最小值．

解答 解：（I）函數f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx）-2sin²$\frac{ωx}{2}$+α=$\sqrt{3}$sin（ωx）+cos（ωx）+α-1
=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+α-1的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=3π，∴ω=$\frac{2}{3}$．
當x∈[0，π]時，$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，函數f（x）的最小值為2×$\frac{1}{2}$+α-1=0，
∴α=0，f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1．
（II）函數f（x）圖象向右平移m（m＞0）個單位后，對應函數y=2sin[$\frac{2}{3}$（x-m）+$\frac{π}{6}$]=2sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{2m}{3}$+$\frac{π}{6}$）的圖象
根據所得圖象對應的函數是偶函數，可得-$\frac{2m}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即m=-$\frac{3}{2}$kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，故m的最小值為π．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、定義域和值域，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數、余弦函數的奇偶性，屬于中檔題．