Question

點P_n（x_n，y_n）在曲線C：y=e^-x上，曲線C在點P_n處的切線l_n與x軸相交于點Q_n（x_n+1，0），直線t_n+1：x=x_n+1與曲線C相交于點P_n+1（x_n+1，y_n+1），（n=1，2，3，…）．由曲線C和直線l_n，t_n+1圍成的圖形面積記為S_n，已知x₁=1．
（Ⅰ）證明：x_n+1=x_n+1；
（Ⅱ）求S_n關(guān)于n的表達式；
（Ⅲ）記數(shù)列{S_n}的前n項之和為T_n，求證：

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

（n=1，2，3，…）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數(shù)y=e^-x進行求導(dǎo)，推斷出切線l_n的斜率，則可求得切線l_n的方程把y=0代入即可求得xQn=xn+1，即x_n+1=x_n+1．
（Ⅱ）根據(jù)根據(jù)x₁=1及（1）中的遞推式可求得x_n，進而利用定積分的公式和性質(zhì)求得答案．

解答：（Ⅰ）證明：因為y=e^-x，所以y'=-e^-x，
則切線l_n的斜率kn=-e-xn，所以切線l_n的方程
為y-yn=-e-xn(x-xn)，令y=0，
得xQn=xn+1，即x_n+1=x_n+1
（Ⅱ）解：因為x₁=1，所以x_n=n，
所以Sn=

∫

xn+1 xn

e-xdx-

1

2

(xn+1-xn)•yn=(-e-x)

|

n+1 n

-

1

2

×e-n=

(e-2)e-n

2e

，
（Ⅲ）Tn=

e-2

2e

（

1

e1

+

1

e2

+…+

1

en

）=

e-2

2e

（

1 e (1- 1 en )

1- 1 e

）=

e-2

2e(e-1)

（1-

1

en

）；

Tn+1

Tn

=

1- 1 en+1

1- 1 en

=1+

e-1

en+1-e

，
而

xn+1

xn

=

n+1

n

=1+

1

n

，
要證

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

成立，只需證明

e-1

en+1-e

＜

1

n

即可；
即只要證明eⁿ⁺¹＞（e-1）n+e（10分）
證明；數(shù)學(xué)歸納法：
①當(dāng)n=1時，顯然（e-1）²＞0?e²＞2e-1?e²＞（e-1）+e成立
②假設(shè)n=k時，有e^k+1＞（e-1）k+e
當(dāng)n=k+1時，e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]
而e[（e-1）k+e]-[（e-1）（k+1）+e]=（e-1）²（k+1）＞0
∴e^k+2=e•e^k+1＞e[（e-1）k+e]＞（e-1）（k+1）+e
這說明n=k+1時不等式也成立，
故

Tn+1

Tn

＜

xn+1

xn

對一切正整數(shù)n都成立．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式及定積分的性質(zhì)與計算．考查了學(xué)生綜合把握所學(xué)知識的能力．